Determinantes de orden 3

Los determinantes son muy utilizados en las matemáticas. Nos permiten encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones por mencionar alguna de sus aplicaciones. Detallaré como se calcula un determinante de orden tres y mencionaré las propiedades de los mismo.

Tambien hay métodos mas prácticos para resolver determinantes de orden superior, pero será tema de otro post.

Vamos al punto:

Sea V3 (K) un espacio vectorial de dimensión 3 sobre un cuerpo K, y una base B del mismo: B = ( u1 , u2 , u3 ). Y sean tres vectores de V3 u , v y w cuyas componentes en la base B son las siguientes:

Determinantes1

 

 

Se denomina determinante de la terna ( u, v, w ) a un escalar que puede calcularse como:

Determinantes2

Este escalar, una vez que se fija una base, siempre se puede calcular y es único, esto nos permite definir una función “Determinante”:

det: V3 x V3 x V3 → K

Determinantes3

Esta función verifica las siguientes propiedades:

1) Es una forma trilineal:

Es decir que es lineal respecto a cada vector.

Que sea lineal respecto a u significa que:

– det ( u1 + u2 , v , w) = det ( u1 , v, w ) + det ( u2 , v , w ) siendo u = u1 + u2 para todo t de K

– det ( t.u, v, w ) = t. det ( u, v, w )

De manera análoga se expresa la linealidad respecto a v y a w.

2) Es una forma alternada:

( ∀ ( u, v, w ) ∈ V33 ) :

det (u, v, w) = det (v, w, u) = det (w, u, v) = – det (u, w, v) = – det (v, u, w) = – det (w, v, u)

3) El determinante se anula si se repiten vectores:

( ∀ ( u, v, w ) ∈ V33 ) :

det (u, u, v) = det (u, u, w) = det (u, v, v) = det (u, w, w) = det (v, w, w) = det ( v, v, w) = 0

Propiedades de los determinantes:

  1. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces: det(A . B) = det(A) . det(B).
  2. Si A es una matriz cuadrada y At es su traspuesta, entonces: det(A) = det (At).
  3. Sea A una matriz inversible y A-1 su inversa, entonces: det(A) . det(A-1) = 1.

  4. Sea A una matriz de orden n y t un escalar, entonces: det (t.A) = tn . det(A).

  5. Si se permuta una fila por otra (o una columna por otra) el determinante cambia de signo.

  6. Sea A una matriz cuadrada de orden n, si a una fila (o a una columna) se le suma un múltiplo de otra el determinante no varía.

  7. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

  8. Sea A una matriz cuadrada, t un escalar y A’ la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por el escalar t, entonces: det(A’) = t . det(A).

  9. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna completa de ceros, el determinante se anula.

Publicado en Algebra
4 Comentarios en “Determinantes de orden 3
  1. Gastón dice:

    Hola, vos pasaste por mi página y te devuelvo la visita.
    Blog nuevito che, pero data interesante y poco común, va a funcionar.

    Saludos!

  2. Gaston dice:

    Muy bueno.. y el codigo para sacar un determinante en php? 😀
    saludos!

  3. Martin dice:

    Muy bueno! me saco del apuro….gracias!!!

  4. nancy dice:

    pra mi los determinantes me adado muy duro para aprender no los entiendo para nada hay boy practicandolos mucho

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