Estructuras algebraicas

Conocer las estructuras algebraicas es la base para luego comprender el resto de los temas que se tratan en la materia. Aunque al principio pueda parecer todo muy abstracto, todos estos conceptos se aclaran cuando se los ejemplifica con el conjunto de los números reales. Como en todas las carrearas de ingeniería se comienzan dando estos temas, pensé que podría ser útil transcribir los apuntes que he tomado en las clases de la profesora Nuñez de la universidad donde realizo mis estudios.

Operación:

Sea E un conjunto no vacío, se llama operación binaria interna a la función que hace corresponder a todo par ordenado de elementos de E un único elemento del mismo E.

E ≠ ∅ * : E x E → E

( a, b ) → a * b

Propiedades:

Sea E un conjunto no vacío y * una operación definida en él, es posible analizar si la mencionada operación verifica las siguientes propiedades:

Asociativa:

Cualesquiera sean a, b, c, de E : (a * b) * c = a * (b * c)

Existencia de elemento neutro:

Existe un elemento e en E para todo a de A tal que:

a * e = e * a = a

Existencia de elementos opuestos o inversos:

Para todo elemento a de E existe un elemento a’ también de E tal que:

a * a’ = a’ * a = e

Conmutativa: Cualesquiera sean a y b de E: a * b = b * a

GRUPO:

Sea E un conjunto no vacío y * una operación binaria interna definida en él:

E ≠ ∅ * : E x E → E

( a, b ) → a * b

Si resulta que la operación * verifica las propiedades:

Asociativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elementos opuestos o inversos, entonces se dice que E con la operación * tiene estructura algebraica de grupo o simplemente que ( E, * ) es un grupo.
Si además * verifica la propiedad conmutativa. Entonces ( E, * ) es un grupo conmutativo.

Propiedades en un Grupo: (Consecuencias de la estructura algebraica de grupo)

Sea ( E , * ) un grupo, e es el elemento neutro, a’ es el inverso de a

1 – En todo grupo el elemento neutro es único.

2 – En todo grupo el elemento neutro es idempotente (e * e = e ).

3 – En todo grupo el inverso de cada elemento es único.

4 – En un grupo el inverso de un compuesto es igual al compuesto de los inversos en orden cambiado.

5 – En todo grupo el inverso del inverso de un elemento coincide con dicho elemento, es decir: ( a’ )’ = a , para cualquier a de (E,*)

6 – Los elementos de un grupo son regulares, es decir:

a * c = b * c ⇒ a = b

c * a = c * b ⇒ a = b cualesquiera sean a, b, c del grupo (E,*)

7 – En todo grupo ( E, * ) tiene solución única la ecuación: a * x = b

SUBGRUPO

Sea ( E, * ) un grupo y A un subconjunto no vacío de E, si resulta que A tiene estructura de grupo para la operación * entonces se dice que el grupo ( A, * ) es un subgrupo del grupo ( E, * ).

Subgrupos triviales:

Todo grupo ( E, * ) admite al menos los subgrupos que reciben el nombre de triviales y son:

El mismo, es decir ( E, * ) es subgrupo de si mismo y
El grupo ( {e}, * ) cuyo conjunto subyacente es un conjunto unitario formado por el elemento neutro para la operación *.

ANILLO:

Sea E un conjunto no vacío y + y · dos operaciones binarias internas definidas en él:

E ≠ ∅ + : E x E → E · : E x E → E

( a, b ) → a + b ( a, b ) → a · b

Si resulta que para la primera operación + se verifican las propiedades:

Asociativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elementos opuestos o inversos
Conmutativa

Es decir que ( E, + ) es un grupo conmutativo pero además para la segunda operación · se verifica la propiedad:

1 – Asociativa

– Y también se cumple la propiedad distributiva de la segunda operación · respecto de la primera +

Sean a, b, c de E: a . (b + c) = a . b + a . c

Entonces se dice que E con las operaciones + y · tiene estructura algebraica de anillo o simplemente que ( E, +, · ) es un anillo.

Si además la segunda operación · verificara las propiedades:

2 – Conmutativa, entonces su estructura es de anillo conmutativo;

3 – Existencia de elemento neutro, en ese caso el se dice que es un anillo con unidad;

Propiedades en un Anillo:

Sea ( E , +, . ) un anillo

En todo anillo el neutro de la primera operación (cero del anillo) es absorbente para la segunda operación.
En todo anillo se verifica que: -a . b = a . ( -b ) = – ( a . b ) , cualesquiera sean los elementos a y b de E.
En todo anillo se verifica que: ( -a ) . ( -b ) = a . b, cualesquiera sean a y b de E.

SUBANILLO

Sea ( E, +, · ) y sea A un subconjunto de E no vacío, si resulta que ( A, +, · ) es también un anillo, entonces se dice que ( A, +, · ) es subanillo del anillo ( E, +, · ).

Subanillos triviales:

Todo anillo ( E, +, · ) admite al menos los subanillos que reciben el nombre de triviales y son: el mismo ( E, +, · ) y aquel cuyo conjunto subyacente es el formado sólo por el neutro aditivo ( {e} , +, · ).

CUERPO:

Si resulta que ( E, +, · ) es un anillo conmutativo con unidad y además existieran inversos para todo elemento de E respecto de la segunda operación · , excepto para el neutro e de la primera operación, entonces se dice que E tiene estructura algebraica de cuerpo respecto de ambas operaciones, o simplemente que ( E, +, · ) es un cuerpo.

Propiedades en un Cuerpo:

Sea ( E , +, . ) un cuerpo.

1 – Los elementos de un cuerpo son regulares para ambas operaciones, es decir:

Dados a, b, c del cuerpo ( E, +, . ):

a + c = b + c ⇒ a = c

a . c = b . c ⇒ a = b , ( si c ≠ e )

2 – En un cuerpo ( E, + , . ) tiene solución única toda ecuación de la forma:

a + ( b.x ) = c para a, b, c de E, siendo b no nulo.

3 – En todo cuerpo se verifica que el inverso del opuesto de un elemento es igual al opuesto del inverso del mismo, es decir que ( – x ) -1 = – ( x -1 ), cualquiera que sea el elemento x de E.

4 – Un cuerpo no tiene divisores de cero, esto significa que el producto de dos elementos del cuerpo es «cero» sólo si alguno de ellos es «cero».

(recuerde que el cero del cuerpo es el neutro para la primera operación)

x . y = e ⇔ x = e ∨ y = e (para todo x e y de E).